如图,在三角形ABC中,已知角ACB=90度,CD为AB边上的高,DE垂直AC于点E,三角形ADE的中线AG的延长线交BC于点F
(1)若CF=FG,求证:FG=1/3AF(2)在(2)的条件下,若AC=6倍根号2,求DE的长...
(1)若CF=FG,求证:FG=1/3AF (2)在(2)的条件下,若AC=6倍根号2,求DE的长
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1、作FH垂直DE交DE于H点,连接DF
依题意可知EG=DG,CF=BF=DF,
因为CF=FG,所以FG=DF,得H为DG的中点,
因为DE垂直AC,FH垂直DE,所以DF平行AE,得FG:AG=HG:EG=1:2
即得FG:AF=1:3,即FG=1/3AF
2、在直角三角形ACF中,AC==6倍根号2,CF=FG=1/3AF,用勾股定理解得CF=3,AF=9
EH=CF=3,因GH:EG=1:2,可得GH=1,EG=2,DE=2*EG=2*2=4
依题意可知EG=DG,CF=BF=DF,
因为CF=FG,所以FG=DF,得H为DG的中点,
因为DE垂直AC,FH垂直DE,所以DF平行AE,得FG:AG=HG:EG=1:2
即得FG:AF=1:3,即FG=1/3AF
2、在直角三角形ACF中,AC==6倍根号2,CF=FG=1/3AF,用勾股定理解得CF=3,AF=9
EH=CF=3,因GH:EG=1:2,可得GH=1,EG=2,DE=2*EG=2*2=4
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第一个问题:
延长CG交AB于H。
∵BC⊥AC、DE⊥AC,∴BC∥DE,∴EG/DG=CF/BF,而EG=DG,∴CF=BF,又CF=FG,
∴CF=FG=BF,∴点F是△BCG的外接圆圆心,∴BC是△BCG的外接圆直径,∴BG⊥CG。
由BD⊥CD、BG⊥CG,得:B、C、G、D共圆,∴∠DGH=∠CBH。
∵BC∥DE,∴∠BCH=∠CGE=∠DGH=∠CBH,∴BH=CH。
∵AC⊥BC,∴∠ACH+∠BCH=∠CAH+∠CBH,∴∠ACH=∠CAH,∴AH=CH。
由BH=CH、AH=CH,得:AH=BH。
∵AH=BH、CF=BF,∴G是△ABC的重心,∴FG=(1/3)AF。
第二个问题:你是不是将在(1)的条件下写成了在(2)的条件下?若是这样,则方法如下:
∵FG=(1/3)AF,又CF=FG,∴CF=(1/3)AF。
由勾股定理,有:AF^2=CF^2+AC^2,∴AF^2=(1/9)AF^2+36×2,
∴(8/9)AF^2=36×2,∴AF=9,∴CF=FG=(1/3)AF=3,∴AG=6。
∵EG∥CF,∴△AEG∽△ACF,∴EG/CF=AG/AF,∴EG=CF×AG/AF=3×6/9=2,
∴DE=2EG=4。
注:若第二个问题不是我所猜测的那样,则请你补充说明。
延长CG交AB于H。
∵BC⊥AC、DE⊥AC,∴BC∥DE,∴EG/DG=CF/BF,而EG=DG,∴CF=BF,又CF=FG,
∴CF=FG=BF,∴点F是△BCG的外接圆圆心,∴BC是△BCG的外接圆直径,∴BG⊥CG。
由BD⊥CD、BG⊥CG,得:B、C、G、D共圆,∴∠DGH=∠CBH。
∵BC∥DE,∴∠BCH=∠CGE=∠DGH=∠CBH,∴BH=CH。
∵AC⊥BC,∴∠ACH+∠BCH=∠CAH+∠CBH,∴∠ACH=∠CAH,∴AH=CH。
由BH=CH、AH=CH,得:AH=BH。
∵AH=BH、CF=BF,∴G是△ABC的重心,∴FG=(1/3)AF。
第二个问题:你是不是将在(1)的条件下写成了在(2)的条件下?若是这样,则方法如下:
∵FG=(1/3)AF,又CF=FG,∴CF=(1/3)AF。
由勾股定理,有:AF^2=CF^2+AC^2,∴AF^2=(1/9)AF^2+36×2,
∴(8/9)AF^2=36×2,∴AF=9,∴CF=FG=(1/3)AF=3,∴AG=6。
∵EG∥CF,∴△AEG∽△ACF,∴EG/CF=AG/AF,∴EG=CF×AG/AF=3×6/9=2,
∴DE=2EG=4。
注:若第二个问题不是我所猜测的那样,则请你补充说明。
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