Question

在抛物线y=4x^2上求一点，使该点到直线y=4X-5的距离为最短，并求出这个最短距离

Answer 1

把直线y=4X-5代入y=4x^2，4x^2-4x+5=0,△=16-80=-64<0,没有实数解，说明直线和抛物线不相交，
在抛物线上找一点。在该点上的切线和已知直线平行，则这点至已知直线的距离为最短距离，而切线斜率应和已知直线斜率相同为4，
求出抛物线的导函数，y'=8x,8x=4,x=1/2,y=1,切点P（1/2，1）处切线和直线4X-y-5=0平行，平行线间距离就是抛物线至已知直线的最短距离，
根据点线距离公式，点P至直线y=4x-5距离为：
d=|4*1/2-1-5|/√(4^2+1^2)=4/√17=4√17/17。
∴最短距离为4√17/17。