Question

高等数学 导数的题目

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+α（x） 其中α（x）是当x趋近于0时比x高阶的无穷小，且f（x） 在 x=1处可导，求曲线y=f（x） 在点（6，f（6））处的切线方程。

Answer 1

可以求出x=6处的导数，利用倒数定义，周期性，即为x=1处的导数。然后，利用那个x=0附近的等式，除以x，取极限，利用罗比达，可以求出x=1处导数。
说明的是，f（6）求不出来的，根据题意，当做了已经。

Answer 2

lim[f(1+sinx)-3f(1-sinx)]=-2f(1)(x->0)
lim[8x+a(x)]=0(x->0)
所以 f(1)=0;
由f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)
//有 lim f(1+sinx)-3f(1-sinx)/8x=1 (x->0)
//由洛必达法则，有lim cosxf'(1+sinx)+3cosxf'(1-six)/8=1(x->0)
lim [f(1+sinx)-f(1)+3f(1)-f(1-sinx)/sinx]*lim sinx/x=8;(x->0)
即有 4f'(1)=8;
所以f'(1)=2;
又函数周期为5，即有 f(6)=0;,f'(6)=2
所以切线方程为 y=2(x-6);

3楼说的是对的，此题不能用洛必达法则，不过结果是对的，求f'(1)应用定义。楼主试试。

Answer 3

这题先把f(1)=0求出来，然后用定义配，不能用洛必达法则，应为题目没有说在x的去心领域内可导。。