Question

设数列an的前n项和为Sn，已知a1=a，a（n+1）=Sn+3^n

1.设bn=Sn-3^n,求数列{bn}的通项公式 2.若a(n+1)>=an,n∈N+,求a的取值范围

Answer 1

1.A(n+1)=S(n+1)-Sn
得:S(n+1)-Sn=Sn+3^n
∴S(n+1)=2Sn+3^n
∴S(n+1)-3*3^n=2Sn-2*3^n
∴S(n+1)-3^(n+1)=2(Sn-3^n)
∴B(n+1)=2Bn
又∵S1=A1=a,B1=a-3
∴Bn为以a-3为首项，2为公比的等比数列
∴Bn=(a-3)*2^(n-1)

2.
a(n+1)-an
=bn+2*3^n-[b(n-1)+2*3^(n-1)]
=bn-b(n-1)+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*[2^(n-1)-2^(n-2)]+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*2^(n-2)+4*3^(n-1)>=0
a-3>=-4*3^(n-1)/2^(n-2)
=-12*(3/2)^(n-2)
a>=3-12*(3/2)^(n-2)
因为(3/2)^(n-2)最小=(3/2)^(1-2)=2/3
3-12*(3/2)^(n-2)最大=3-12*2/3=-5
a>=-5

Answer 2

a（n+1）=sn+3^n
a(n)=sn-1+3^n-1
两式相减可得a（n+1）-a（n）=a（n）+2*3^n-1这样可得
a（n+1）=2a（n）+2*3^n-1由此式可以得到一个是以（a（n+1）+x）的等比数列，公比是2
可以求出a（n）的通项公式，可以求出bn