Question

已知三角形ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆叫AC于F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于M,AD为△ABC的角平分线

(1)求证：AB是半圆O的切线
2）若AB=3，BC=4，求BE的长

Answer 1

AD垂直BE吧？ 如果垂直就有解。
连接BF交AD于G 做GI⊥AB
∵直径BC所以∠BFC=∠AFB=90°即GF⊥AC
又∵AD平分∠ABC所以∠BAD=∠CAD
且GI⊥AB，GF⊥AC 即有GI=GF ∠GIA=∠GFA=90°
∴△GIA≌△GFA 得∠AGF=∠AGI=∠BGD
∵∠BAD+∠AGI=90°
∴∠BAD+∠BGD=90°又∵AD⊥BE ∴∠AHB=90°
∴∠GBH+∠BGD=90°∴∠BAD=∠GBH
又∵E为弧CF中点 ∴弧EF=弧CE 又∴∠BAD=∠GBH=∠EBC
∵∠AHB=90°∴∠ABH+∠ BAD=90°∴∠EBC+ ∠ABH=90°=∠ABC
∴AB是半圆O的切线
第2问等等

Answer 2

（1）连接EC
∵AD为三角形ABC的角平分线
又AD⊥BE
∴三角形ABM是等腰三角形
∴角ABH=∠AMH
又角AMH=∠EMC
∴∠ABH=∠EMC
∵BC是圆O直径
∴∠BEC=90°
∴∠ECM+∠CEM=90°
∴∠ECM+∠ABH=90°
∵E为弧FC中点
∴弧EF=弧CE
∴∠ECF=∠EBC
∴∠EBC+∠ABH=90°
即AB⊥BC
∵OB为圆O半径
AB⊥BC
∴AB是圆O 切线，

Answer 3

（1）
连接BF交AD于G 做GI⊥AB
∵直径BC所以∠BFC=∠AFB=90°即GF⊥AC
又∵AD平分∠ABC所以∠BAD=∠CAD
且GI⊥AB，GF⊥AC 即有GI=GF ∠GIA=∠GFA=90°
∴△GIA≌△GFA 得∠AGF=∠AGI=∠BGD
∵∠BAD+∠AGI=90°
∴∠BAD+∠BGD=90°又∵AD⊥BE ∴∠AHB=90°
∴∠GBH+∠BGD=90°∴∠BAD=∠GBH
又∵E为弧CF中点 ∴弧EF=弧CE 又∴∠BAD=∠GBH=∠EBC
∵∠AHB=90°∴∠ABH+∠ BAD=90°∴∠EBC+ ∠ABH=90°=∠ABC
∴AB是半圆O的切线

（2）
∵AB=3,BC=4,
由（1）知，∠ABC=90，∴AC=5
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，∴CM=2
由△CME∽△BCE，得EC/EB=MC/CB=1/2，
∴EB=2EC
∴BE=8/5 ×√5

Answer 4

1.
AD垂直BE吧？ 如果垂直就有解。
连接BF交AD于G 做GI⊥AB
∵直径BC所以∠BFC=∠AFB=90°即GF⊥AC
又∵AD平分∠ABC所以∠BAD=∠CAD
且GI⊥AB，GF⊥AC 即有GI=GF ∠GIA=∠GFA=90°
∴△GIA≌△GFA 得∠AGF=∠AGI=∠BGD
∵∠BAD+∠AGI=90°
∴∠BAD+∠BGD=90°又∵AD⊥BE ∴∠AHB=90°
∴∠GBH+∠BGD=90°∴∠BAD=∠GBH
又∵E为弧CF中点 ∴弧EF=弧CE 又∴∠BAD=∠GBH=∠EBC
∵∠AHB=90°∴∠ABH+∠ BAD=90°∴∠EBC+ ∠ABH=90°=∠ABC
∴AB是半圆O的切线
2.解
∵AB⊥BC，AB＝3,BC＝4
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（9+16）＝5
∵AD平分∠BAC
∴AB/BD＝AC/CD
∴AB/BD＝AC/（BC-BD）
∴3/BD＝5/（4-BD）
∴BD＝3/2
∴AD＝√（AB²+BD²）＝√（9+9/4）＝3√5/2
∵∠CBE＝∠BAD，AB⊥BC，∠BEC＝90
∴△ABD相似于△BEC
∴BE/BC＝AB/AD
∴BE/4＝3/（3√5/2）
∴BE＝8√5/5