Question

如图梯形ABCD中，AD平行BC，AD=AB=DC

E是BC的i中点，角C等于60°。求证；四边形ABED是菱形

Answer 1

证明:连接BD,AD=AB=DC
∴ABCD为等腰梯形
∴∠ABC=∠C
∵AD平行BC,角C等于60°
∴∠ABC＋∠A=180º 即∠A＋60º=180º ∠A=120º(两直线平行同旁内角互补)
同理可得∠ADC=120º
∵AD=AB=DC
∴在⊿ABD中,∠ADB=∠ABD=(180º－120º)÷2=30º
∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=120º－30º=90º
∠DBC=∠ABC－∠ABD=60º－30º=30º
∴在直角三角形BDC中CD=1／2BC(直角三角形中30º角所对的直角边是斜边的一半)
∴AD=AB=DC=1／2BC
∵E是BC的中点
∴BE=1／2BC=AD=AB
又∵AD∥BC
∴四边形ABED是平行四边形也是菱形(临边相等的平行四边形是菱形)

Answer 2

连接DE，延长BA，CD交于F。
根据已知条件可得梯形ABCD是等腰梯形。所以，∠B=∠C=60°，所以∠F=60°，所以△FBC为正三角形，同理△FAD为正三角形。
而E为BC中点，所以EA平行且等于CD，而AD=CD，故而得证。

Answer 3

过b作ad平行线交dc延长线于点e，由ab平行de，ad平行be知四边形abed是平行四边形，因此角a＝角e。设角e＝x，由be＝ad＝bc可知角bce＝x,角cbe＝180度－2x，又因为cb＝cd，角cbd＝角cdb，而且角bce＝角cbd＋角cdb，所以角cdb＝角cbd＝x/2.因为ad垂直bc，ad平行be，所以db垂直be，于是角dbe＝角dbc＋
角cbe＝x/2+(180-2x)=90度，解此方程即得x=60度，即角a等于60度。