Question

若函数f(x)=x^2-ax满足对任意的x1,x2属于[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|小于等于2恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

依题意，即在[0,1],函数的最大值与最小值的差小于等于2.
f(x)=(x-a/2)^2-a^2/4
若对称轴x=a/2在区间内，即0=<a<=2, 则最小值为f(a/2)=-a^2/4, 最大值为端点f(0)=0 or f(1)=1-a
故a^2/4<=2, 且|1-a+a^2/4|=(1-a/2)^2<=2，符合
若对称轴在区间右边，即a>2, 则最小值为f(1),最大值为f(0), 其差为a-1<=2, 得：2<a<=3
若对称轴在区间左边，即a<0,则最小值为f(0),最大值为f(1),其差为1-a<=2,得：-1=<a<0,
综合得a的取值范围是：-1=<a<=3

Answer 2

你好，解答如下：
很显然有f（0）= 0

对称轴为直线x = a/2
如果a/2 ≤ 0或者 a/2 ≥ 1，即a ≤ 0或者 a ≥ 2时
函数在0到1上是单调的，所以只需要两个最值的差的绝对值小于等于2就可以了
也就是|f（1）- f（0）| = |1 -a| ≤ 2
所以-1 ≤ a ≤ 3

这里解得-1 ≤ a ≤ 0 或者 2 ≤ a ≤ 3

如果0 ＜ a/2 ＜ 1，即0 ＜ a ＜ 2时
函数的最小值在f（a/2）上取到，所以|f（a/2）- f（0）| ≤ 2 或者|f（a/2）- f（1）| ≤ 2
所以a²/4 ≤ 2 或者 |-a²/ 4 - 1 + a | ≤ 2 --------------（a/2 - 1）² ≤ 2
-2√2 ≤ a ≤ 2√2 或者 -2√2 + 2 ≤ a ≤ 2√2 + 2

这里解得0 ＜ a ＜ 2

所以 -1 ≤ a ≤ 3