Question

已知a是实数，函数f(x)=2ax^2+2x-3-a

已知a是实数，函数f（x）=2ax^2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间【-1,1】有零点，求a的范围
答案：a≤（-3-根号7）/2或a≥1
请给出详细过程，谢谢
（《解》P49T2）

Answer 1

因为x的二次项系数含有a，所以应该先考虑a=0的情况。

当a=0时，函数y=2x-3，此时y=0得到x=3/2，这个数值不在区间【-1,1】中，所以a≠0。（这一步考试的卷面上还是应该写上的，不然要扣分的啦）。

所以题目的函数图像就是一条开口向上或开口向下的抛物线。所以，我们不必管它与x轴上[-1，1]区间的交点是有一个还是有两个，反正只要在此区间有交点就行。

一个很自然的想法就是把多项式2ax^2+2x-3-a的根（也就是方程2ax²＋2x－3－a=0的根）套公式求出来，然后令根在此区间上，从而求出a的范围。我们可以考虑是否还可以简便一些。

从图像上看，比如开口向上。（见附图，如果看不清，可以点击放大图片，哪怕更不清楚，不要紧，此时把【图片另存为】桌面即可。那时候再预览就好啦）。

下面，你自己可以写出不等式了。图片里有【对称轴】小于0，这是我画错了，应该写成：

对称轴的方程【x=-b/2a】令：－1≦﹙﹣b／2a﹚≤1。这里的b,a你是知道的。

追问

但是这样的话不是要讨论很多种情况吗？

追答

对称轴的方程【x=-b/2a】令：－1≦﹙﹣b／2a﹚≤1，（我说过，图片里的对称轴小于零是“误写”。其实，情况只有两种呀。你自己稍微把图一比较，就知道啦。

Answer 2

令f(x)=0，有（2x^2-1）a=3-2x
1} 2x^2-1=0时，回代入等式不成立，舍
2} 2x^2-1不=0时，a=（3-2x）/（2x^2-1），令t=3-2x，t范围[1,5]，x=(3-t)/2，a=2/(t-6+7/t)，分母为挑函数可得其求范围是[2倍根号7-6，2]，，得a范围 ≤（-3-根号7）/2 或 ≥1
综上所述 。

Answer 3

这样的题先别急着讨论，先找函数过定点[(√2)/2,√2-3)且这点在y轴下方.
第一：当讨论a大于0时，很显然对称轴在x轴左侧根据对称作用显然f（1）离对称轴远这时f（1）>f(-1)，只需要f（1）>=0；得到f(1)=a-1>=0得到a>=1.
第二：当a<0时，有一点在【-1,1】之间的点在y轴下方，只需要在在这个区间内判别式大于0，这时就必然有交点，这就得到判别式=4+8a（a+3）=8a^2+24a+4>0;得到a<=（-3-√7）/2或者a>=(√7-3)/2(舍）。 如果你看懂了，给个赞同，谢谢。