Question

如图 正方形ABCD中,E、F分别为AD、DC中点,BF、EC相交于点M,求证：AM=AB

Answer 1

∵ABCD是正方形，　∴∠D＝∠BCF＝90°、CD＝BC＝AD。
由DE＝AD/2、CF＝CD/2、AD＝CD，得：DE＝CF。
由CD＝BC、DE＝CF、∠D＝∠BCF，得：△CDE≌△BCF，　∴∠CFM＝∠DEM，
∴D、E、M、F共圆，　∴∠EMF＝∠D＝90°，　∴∠BME＝90°。

∵ABCD是正方形，　∴∠BAE＝90°，又∠BME＝90°，　∴A、B、M、E共圆，
∴∠AMB＝∠AEB。

∵ABCD是正方形，　∴BA＝CD、∠D＝∠BAE，又DE＝AE，　∴△CDE≌△BAE，
∴∠AEB＝∠DEM。
由∠CFM＝∠DEM、∠AEB＝∠DEM，得：∠CFM＝∠AEB。
由∠AMB＝∠AEB、∠CFM＝∠AEB，得：∠AMB＝∠CFM。

∵ABCD是正方形，∴AB∥FC，∴∠ABM＝∠CFM。
由∠AMB＝∠CFM、∠ABM＝∠CFM，得：∠ABM＝∠AMB，　∴AM＝AB。