如图所示,在△ABC中,AC=2AB,∠A=2∠C,求证:AB⊥BC。
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证明：由正弦定理 AB/sinC=AC/sinB
∵∠A=2∠C ∴∠B=180º-∠A-∠C=180º-3∠C
∵AC=2AB ∴AC/AB=2
∴AC/AB=sinB/sinC=sin(180º-3∠C)/sinC=2
=> sin(3C)/sinC=2
=> (sinCcos2C+sin2CcosC)/sinC=2
=> cos2C+2cos²C=2
=> 2cos²C-1+2cos²C=2
=> 4cos²C=3 => cosC=±√3/2
∵ ∠C>0 【三角形内角】 ∴∠C=arc cos (√3/2)=30º
=> ∠A=60º => ∠C=90º
∴AB⊥BC
∵∠A=2∠C ∴∠B=180º-∠A-∠C=180º-3∠C
∵AC=2AB ∴AC/AB=2
∴AC/AB=sinB/sinC=sin(180º-3∠C)/sinC=2
=> sin(3C)/sinC=2
=> (sinCcos2C+sin2CcosC)/sinC=2
=> cos2C+2cos²C=2
=> 2cos²C-1+2cos²C=2
=> 4cos²C=3 => cosC=±√3/2
∵ ∠C>0 【三角形内角】 ∴∠C=arc cos (√3/2)=30º
=> ∠A=60º => ∠C=90º
∴AB⊥BC
追问
用全等
追答
先又不说。当真“麻子不是麻子，是坑人”！好吧，依你。
证明：作∠A的平分线AN交BC于N，过N作NH垂直AC于H
∵∠A=2∠C ∴∠NAC=∠BAC/2=∠C
∴⊿NAC是等腰三角形 【CN=AN】
∵NH是等腰三角形底边上的高
∴NH同时是底边上的中线
∴AH=AC/2=AB
∵AH=AB ∠HAN=∠BAN AN=AN
∴⊿HAN≌⊿BAN (边。角。边）
∴∠B=∠AHN=90º
∴AB⊥BC
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GamryRaman
2023-06-12 广告
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