如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),O为坐标原点.设P点

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),O为坐标原点.设P点在第一象限,以P为圆心,半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的... 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),O为坐标原点.设P点在第一象限,以P为圆心,半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O、P、A三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分,求这条直线l的解析式;
(3)若点N在抛物线上,问x轴上是否存在点M,使得以M为圆心的⊙M能与△PAN的三边PA、PN、AN所在直线都相切?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由
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lim0619
2012-05-07 · TA获得超过8.3万个赞
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(1)由O(0,0),P(1,3) A(4,0)

设抛物线y=ax²+bx+c

0=c,(1)

3=a+b+C(2)

0=16a+4b(3)

a=-1,b=4,c=0

∴y=-x²+4x

=-(x-2)²+4.

(2)取矩形OABC中点M(2,1)

无论P在何位置,只要连PM即可。

当P(1,3)时:

由3=a+b及1=2a+b,

a=-2,b=5

y=-2x+5。

(3)N的坐标?

sunjun0210
2012-05-07 · TA获得超过333个赞
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(1) 这问不难,只要把P点坐标求出就行。由半径为1的圆P分别于y轴和BC相切,可知点P到y轴和BC的垂直距离为1,y轴:x=0,BC:y=2,则P坐标为(1,3),然后把O、P、A三点代入抛物线方程,三个方程解三个未知数,应该没问题吧,y=-x²+4x。
(2) 要平分圆P,直线得经过P点,设直线l为y-3=k(x-1),即y=kx+3-k,下面要看直线如何平分矩形了。分别求出直线l与BC和AO的交点,记为D、E。
BC:y=2,AO:y=0,算出交点分别为D((k-1)/k,2),E((k-3)/k,0)。直线将矩形分成两个等高的直角梯形,所以是否平分,得看上下底的长度和是否一样。两个梯形总的上下底和=AO+BC=8,只要CD+OE=4即可,即(k-1)/k+(k-3)/k=4,解之得,k=-2,直线的解析式为y=-2x+5。
(3) 设M、N坐标分别为(m,0)、(n,-n²+4n),直线PA解析式为y=-x+4,PN解析式为y-3=(3-n)(x-1),NA解析式为y=-n(x-4)。
因为园M圆心在x轴上,若要使圆M和直线PA、AN相切,这两条直线必须关于x轴对称,PA的k=-1,则AN的k=1,即-n=1,n=-1,则N坐标为(-1,-5),PN的解析式为y=4x-1。
接下来求M到PA和PN的距离,分别为|m-4|/√2,|4m-1|/√17,如果这两个距离相等且有解,M点就存在,解之得,m=-4±√34,题目里说的是三边所在直线都相切,所以这两个值都符合条件。
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淄博海王星
2012-05-07 · TA获得超过1955个赞
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不一定是最简单的,如有请共享。

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