Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），O为坐标原点．设P点

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），O为坐标原点．设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过O、P、A三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；
（3）若点N在抛物线上，问x轴上是否存在点M，使得以M为圆心的⊙M能与△PAN的三边PA、PN、AN所在直线都相切？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）由O（0,0），P（1,3） A（4,0）

设抛物线y=ax²+bx+c

0=c，（1）

3=a+b+C（2）

0=16a+4b（3）

a=-1，b=4，c=0

∴y=-x²+4x

=-（x-2)²+4.

（2）取矩形OABC中点M（2,1）

无论P在何位置，只要连PM即可。

当P（1,3）时：

由3=a+b及1=2a+b，

a=-2，b=5

y=-2x+5。

（3）N的坐标？

Answer 2

(1) 这问不难，只要把P点坐标求出就行。由半径为1的圆P分别于y轴和BC相切，可知点P到y轴和BC的垂直距离为1，y轴：x=0，BC：y=2，则P坐标为(1,3)，然后把O、P、A三点代入抛物线方程，三个方程解三个未知数，应该没问题吧，y=-x²+4x。
(2) 要平分圆P，直线得经过P点，设直线l为y-3=k(x-1)，即y=kx+3-k，下面要看直线如何平分矩形了。分别求出直线l与BC和AO的交点，记为D、E。
BC：y=2，AO：y=0，算出交点分别为D((k-1)/k,2)，E((k-3)/k,0)。直线将矩形分成两个等高的直角梯形，所以是否平分，得看上下底的长度和是否一样。两个梯形总的上下底和=AO+BC=8，只要CD+OE=4即可，即(k-1)/k+(k-3)/k=4，解之得，k=-2，直线的解析式为y=-2x+5。
(3) 设M、N坐标分别为(m,0)、(n,-n²+4n)，直线PA解析式为y=-x+4，PN解析式为y-3=(3-n)(x-1)，NA解析式为y=-n(x-4)。
因为园M圆心在x轴上，若要使圆M和直线PA、AN相切，这两条直线必须关于x轴对称，PA的k=-1，则AN的k=1，即-n=1，n=-1，则N坐标为(-1,-5)，PN的解析式为y=4x-1。
接下来求M到PA和PN的距离，分别为|m-4|/√2，|4m-1|/√17，如果这两个距离相等且有解，M点就存在，解之得，m=-4±√34，题目里说的是三边所在直线都相切，所以这两个值都符合条件。

Answer 3

不一定是最简单的，如有请共享。