Question

在三角形ABC中，sin^2A=sin^2B+sin^2C,则△ABC的形状为？不用正弦定理，应该怎么证？求详解

Answer 1

在三角形中有sinA=sin(B+C)，所以原式可变为：
sin^2(B+C)=sin^2B+sin^2C
展开：sin^2Bcos^2C+2sinBcosCsinCcosB+cos^2Bsin^2C=sin^2B+sin^2C
将左边移到右边：sin^2B(1-cos^2C)+sin^2C(1-cos^2B)-2sinBcosCsinCcosB=0
sin^2Bsin^2C+sin^2Csin^2B-2sinBcosCsinCcosB=0
sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)=0
-sinBsinCcos(B+C)=0
显然B、C不可能等于0或者180
所以B+C=90
所以△ABC为直角三角形

呵呵 给好评满分吧 写的多不容易啊

Answer 2

不用正弦定理的话，可以用三角函数恒等变换解，不过要麻烦些。
sin²A=sin²B+sin²C
sin²(180°-B-C)=sin²B+sin²C
sin²(B+C)=sin²B+sin²C
(sinBcosC+cosBsinC)²=sin²B+sin²C
sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sinBcosBsinCcosC=sin²B+sin²C
sin²B(1-cos²C)+sin²C(1-cos²B)=2sinBcosBsinCcosC
2sin²Bsin²C=2sinBcosBsinCcosC
cosBcosC-sinBsinC=0
cos(B+C)=0
又B、C均为三角形内角，0<B+C<180°，因此B+C=90°
A=180°-B-C=180°-90°=90°
三角形是直角三角形。

Answer 3

由sin^2A=sin^2B+sin^2C，A+B+C=π，
得：sin^2(B+C)=sin^B+sin^2C
→ sin^2(B+C)-sin^2B-sin^2C=0
→ (sinBcosC+cosBsinC)^2-sin^2B-sin^2C=0
→ sin^2Bcos^2C+cos^2Bsin^2C+2sinBcosBsinCcosC-sin^2B-sin^2C=0
→ sin^2B(cos^2C-1)+sin^2C(cos^2B-1)+2sinBcosBsinCcosC=0
→ -2sin^2Bsin^2C+2sinBcosBsinCcosC=0
→sinBcosBsinCcosC-sin^2Bsin^2C=0
→ sinBsinC(cosBcosC-sinBsinC)=0
→ sinBsinCcos(B+C)=0
因为B和C是三角形ABC的内角，所以sinB和sinC都大于0且B+C<π，则有：cos(B+C)=0
所以B+C=π/2,则A=π-(B+C)=π/2，所以三角形ABC是直角三角形。

Answer 4

sin^2A=sin^2B+sin^2C
sin^2B+sin^2C=sin^2(pi-B-C)
=(sinBcosC+cosBsinC)^2
=sin^2Bcos^2B+2sinBcosCcosBsinC+sin^2Ccos^2B
推出cosBcosC=sinBsinC
tanBtanC=1
B+C=90度
△ABC的形状为直角三角形

Answer 5

sin^2A=sin^2B+sin^2C
a^2=b^2+c^2
△ABC的形状为直角三角形

追问

不用正弦定理去解答，用角去证