Question

求函数y=(sinx+2)/(cosx－2）的值域

Answer 1

解：
y=(sinx+2)/(cosx-2)
ycosx-2y=sinx+2
sinx-ycosx=-2-2y
√(1+y²)sin(x-∅)=-2-2y
∴ sin(x-∅)=（-2-2y）/√(1+y²)
∵ 正弦函数的值域是【-1,1】
∴ |（-2-2y）/√(1+y²)|≤1
∴ |-2-2y|≤√(1+y²)
∴ 4y²+8y+4≤1+y²
3y²+8y+3≤0
(-4-√7)/3≤y≤(-4+√7)/3
即值域 【 (-4-√7)/3，(-4+√7)/3】

Answer 2

y= (sinx+2)/(cosx-2)
y' = [(cosx-2)cosx+ (sinx+2)sinx]/(cosx-2)^2=0
-2cosx+2sinx+1=0
4(sinx)^2 = 4(cosx)^2-4cosx +1
8(cosx)^2-4cosx-3=0
cosx = (1+√7)/4 or (1-√7)/4
when cosx = (1+√7)/4 , sinx = (√7-1)/4
when cosx = (1-√7)/4 , sinx = (√7+1)/4
y=(sinx+2)/(cosx-2)
max y = [(√7+1)/4+2]/[(1-√7)/4-2]
= (√7+9)/(-7-√7)
= -(√7+9)(7-√7)/42
= -(56-2√7)/42
= -(28-√7)/21
min y = [(√7-1)/4+2]/[(1+√7)/4-2]
=(√7+7)/(-7+√7)
=(√7+7)(-7-√7)/42
= -(56+14√7)/42
= -(4+√7)/3
值域 = [-(4+√7)/3,-(28-√7)/21]

Answer 3

法一、数形结合
y=（sinx-(-2））/(cosx-2)
可理解为过点（-2,2）与单位圆上一点的直线斜率
所以只要联立过（-2,2）的直线方程与单位圆方程，令△≥0
解得斜率k范围为【 (-4-√7)/3，(-4+√7)/3】

法二、换元法
令tanx/2=t∈R
y=（2t/(1+t^2)+2）/((1-t^2)/(1+t^2)-2)
接下来，你懂的

法三、三角有界性
y=(sinx+2)/(cosx-2)
sinx-ycosx=-2-2y
√(1+y²)sin(x-φ)=-2-2y
∵ 正弦函数的值域是【-1,1】
∴ |（-2-2y）/√(1+y²)|≤1
(-4-√7)/3≤y≤(-4+√7)/3

法四、导数
对原函数求导，令导数等于零
求极值，点到为止