Question

如图,菱形ABCD的边长为12cm,∠ABC=30°,E为AB上一点,且AE=4cm,动点P从B点出发,以1cm/s的速度沿BC想点C运动

如图,菱形ABCD的边长为12cm,∠ABC=30°,E为AB上一点,且AE=4cm,动点P从B点出发,以1cm/s的速度沿BC想点C运动PE交射线DA于点M，社运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2.
（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC向C运动，.........最大值为多少？
（3）连结EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？..........若不存在，请说明理由.

Answer 1

∵四边形ABCD 为菱形，∴AD∥BC. ∴△EAM∽△EBP.
∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝tcm，∴AM＝12tcm
由S△EAM＝3 cm2 、∠MAE＝30°、AE＝4cm得12×12t×2＝3，解得t＝6
∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2.
(2) ∵AD∥BC，∴S梯PCDM＝72－32t
∵S△PCQ＝144－24t＋t24, S△MQD＝12t＋12t24
∴S△MPQ＝－38t2＋32t＋36
∴S△MPQ＝－38 (t－2)2＋752
当t＝2时，S最大值为752
（3）t的值有两个
∵△PQE的外心恰好在它的一边上
∴△PQE为直角三角形
由BP＝DQ、BC＝DC可得PQ∥BD
若∠EPQ＝90°，则可得PE⊥BD （或PE∥AC）
从而可求得∴BP＝BE＝8cm，即当t＝8s时，∠EPQ＝90°

Answer 2

易知E到射线DA的距离为4*sin30°=2，E交射线DA于O，
（1）△MAE的面积=AM*EO/2=3，所以AM=3，根据相似三角形得AM/BP=1/2，所以BP=6，
t=6/1=6秒
（2）？？什么最大值？
（3）存在，P和Q刚开始运动时∠PEQ大于90°，当P和Q都接近C时∠PEQ小于90°，当∠PEQ=90°时，△PQE的外心恰好在它的一边PQ上

Answer 3

∵四边形ABCD 为菱形，∴AD∥BC. ∴△EAM∽△EBP.
∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝tcm，∴AM＝12tcm ………1分
由S△EAM＝3 cm2 、∠MAE＝30°、AE＝4cm得12×12t×2＝3，解得t＝6
∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2. ………2分
(2) ∵AD∥BC，∴S梯PCDM＝72－32t
∵S△PCQ＝144－24t＋t24, S△MQD＝12t＋12t24
∴S△MPQ＝－38t2＋32t＋36 ………4分
∴S△MPQ＝－38 (t－2)2＋752 ………5分
当t=2时，最大值应是75/2=32.5 ………6分
（3）t的值有两个 ………8分
∵△PQE的外心恰好在它的一边上
∴△PQE为直角三角形
由BP＝DQ、BC＝DC可得PQ∥BD ………9分
若∠EPQ＝90°，则可得PE⊥BD （或PE∥AC） ………10分
从而可求得∴BP＝BE＝8cm，即当t＝8s时，∠EPQ＝90° ………11分
（若学生不是选择求此情形的t的值，而是考虑另一种情形，即∠PEQ＝90°，则若学生得到PE2＋QE2＝PQ2 得1分 .求得结果得满分.）

Answer 4

易知E到射线DA的距离为4*sin30°=2，E交射线DA于O，
（1）△MAE的面积=AM*EO/2=3，所以AM=3，根据相似三角形得AM/BP=1/2，所以BP=6，
t=6/1=6秒
（2）？？什么最大值？
（3）存在，P和Q刚开始运动时∠PEQ大于90°，当P和Q都接近C时∠PEQ小于90°，当∠PEQ=90°时，△PQE的外心恰好在它的一边PQ上

Answer 5

2）当t=2时，最大值应是75/2=32.5
3）∠EPQ=90°时，t1=8s
∠QEP=90°时， t2=4根号3