Question

设函数f(x)=2根号3sinxcosx+2cos^2x+m（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间

（2）当x∈【0，π/6】时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围
详细过程 谢谢~

Answer 1

f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x+m=√3sin2x+1+cos2x +m=2sin(2x+π/6) +m+1。
(1)f(x)的最小正周期为T=π。
由2kπ - π/2 ≤2x+π/6≤2kπ + π/2，得kπ - π/3 ≤x≤kπ + π/6 (k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为 [kπ - π/3，kπ + π/6](k∈Z)。
(2) 当x∈[0，π/6]时，π/6 ≤2x+π/6≤π/2，
∴2+m≤f(x)≤3+m，
由条件得2+m >-4，且3+m<4，
解得-6<m<1，即实数m的取值范围是(-6，1)。

追问

2+m≤f(x)≤3+m是怎么来的？

追答

由π/6 ≤2x+π/6≤π/2，
得1≤2sin(2x+π/6)≤2，
而f(x)=2sin(2x+π/6) +m+1，
所以得2+m≤f(x)≤3+m。

Answer 2

解：（1）由题可得f(x)=根号3sin2x+cos2x+m+1
所以f(x)=2sin（2x+π/6）+m+1
所以T=2π/2=π
由-π/2<2x+π/6<π/2，所以递增区间为-π/3<x<π/6
（2）由-4＜f（x）＜4，所以-4＜2sin（2x+π/6）+m+1＜4
所以-5-2sin（2x+π/6）＜m＜3-2sin（2x+π/6）
因为x∈【0，π/6】，f（x）递增，可以求出1＜2sin（2x+π/6）＜2
所以1＜3-2sin（2x+π/6）＜2，-7＜-5-2sin（2x+π/6）＜-6
所以-6＜m＜1

追问

1＜3-2sin（2x+π/6）＜2，-7＜-5-2sin（2x+π/6）＜-6是怎么来的？