Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且∠AED＋∠AFD=180°.（1）求证：DE=DF

（2）若把条件∠ADE+∠AFD=180°换成DE=DF,问∠AED+∠AFD=180°是否成立？？说明理由。

Answer 1

证明：作DG⊥AC,DH⊥AB,垂足分别是E、F.
∵AD是∠BAC的角平分线
DG⊥AC,DH⊥AB
∴DE=DF
∵∠AED＋∠AFD=180°.且∠AED＋∠HED=180°.
∴∠HED=∠AFD
∵DG⊥AC,DH⊥AB,
∴∠EHD=∠DGF=90°
∴⊿DHE≌⊿DGF
∴DE=DF
(2)∵DG⊥AC,DH⊥AB,
∴∠EHD=∠DGF=90°
∵AD是∠BAC的角平分线
DG⊥AC,DH⊥AB
∴DE=DF
∴RT⊿DEH≌RT⊿DGF
∴∠DEH=∠AFD
又∵∠AED+∠DEH=180
∴∠AED+∠AFD=180°