Question

请教二次型化标准型的方法

网上也有方法，我查过，只是都看不太明白。
麻烦哪位举些例子说明一下
就好像配方法，我都快疯了

Answer 1

1. 含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形
解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2. 不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理
3. 特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量。

Answer 2

1. 含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形

解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2

2. 不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理

3. 特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量
这部分比较麻烦, 你找本教材看看例题吧

追问

2. 不含平方项的情形
f(x1,x2,x3,x4) = 8 x1 x4+2 x3 x4+2 x2 x3+8 x2 x4
像这样4项的咧？怎么办？？

追答

8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4
=8(y1+y4)(y1-y4)+2y3(y1-y4)+y2y3+8y2(y1-y4)
=8y1^2 +8y1y2 +2y1y3- 8y4^2 +y2y3 -8y2y4 -2y3y4
之后按第1类方法继续