Question

初三数学二次函数题目，求解！

题目图片在下面

Answer 1

解：
1）解方程组：
y=2x,①
y=x^2/4+mx+n,②
①代人②得，
x^2/4+mx+n=2x,
整理得
x^2/4+(m-2)x+n=0,
此方程的两根为x1,x2,即A,B 的横坐标，
因为A,B关于原点成中心对称，
所以x1+x2=0,
即x1+x2=-(m-2)=0,
解得m=2,
代人抛物线，得y=x^2/4+2x+n,
抛物线与y轴交点为C(0,n)
因为AC∥x轴，
所以A点与C点的纵坐标相等，
所以x1^2/4+2x1+n=n
即x1^2/4+2x1=0,
因为x1≠0，
所以解得x1=-8
代人到y=2x中，得y=2x=-16
所以n=-16,
即抛物线为y=x^2/4+2x-16
2）设平移后的直线为y=2x+b,
将(a,0)代人，得，y=2a+b=0,
解得b=-2a
所以平移后的直线为y=2x-2a(a>0)
解方程组：
y=2x-2a,①
y=x^2/4+2x-16,②
①代人②得，
x^2/4+2x-16=2x-2a,
整理得
x^2/4=16-2a
整理x^2=64-8a,
当64-8a=0时，此方程组有两个相等的实数根，
即当a=8时，直线和抛物线只有一个交点，
当64-8a>0时，此方程组有两个不相等的实数根，
即当0<a<8时，直线和抛物线有两个交点，
当64-8a<0时，此方程组没有实数根，
即当a>8时，直线和抛物线没有交点。

Answer 2

解：(1)抛物线y=1/4x²+mx+n与y轴交点C坐标为(0、n)
∵AC∥x轴
∴点A纵坐标为：n
∵点A在直线y=2x上
∴点A坐标为(1/2n、n)
∵点A、B关于原点对称
∴点B坐标为(-1/2n、-n)
将A、B坐标代入y=1/4x²+mx+n得：
1/16n²+1/2mn+n=n
1/16n²-1/2mn+n=-n
解得：m=2 n=-16
∴抛物线解析式为：y=1/4x²+2x-16
(2)设平移后直线解析式为：y=2x+b (b＜0)
x=a时：2a+b=0 b=-2a
联立方程组：
y=1/4x²+2x-16
y=2x+b
1/4x²+2x-16=2x+b
1/4x²-(b+16)=0
△=b+16=-2a+16
①当△=-2a+16＞0时，0＜a＜8，直线与抛物线有2个交点。
②当△=-2a+16=0时，a=8，直线与抛物线有1个交点。
③当△=-2a+16＜0时，a＞8，直线与抛物线没有有交点。

Answer 3

(1)A,B关于原点对称, x2 = -x1, y2 = -y1
y1 = (x1)²/4 + mx1 + n
-y1 = (x1)²/4 - mx1 + n
二者相加: (x1)²/2 + 2n = 0
n = -(x1)²/4 (a)
y1 = 2x1 (b)
C(0, n)
AC与x轴平行, 纵坐标相等:n = y1
-(x1)²/4 = 2x1
x1 = 0(原点, 舍弃)或x1 = -8
n = y1 = -16
-16 = (-8)²/4 -8m -16
m = 2
y = x²/4 + 2x -16

(2)平移后直线为y = 2(x-a)
带入二次函数: 2(x-a) = x²/4 + 2x -16
x² +8(a -8) = 0
(i) a > 8
a - 8 > 0, x² +8(a -8) = 0无实数解，二者无交点
(ii) a = 8
x² +8(a -8) = 0变为x² = 0, 有一个实数解，二者有一个公共点(相切)
(iii) a < 8
a - 8 < 0
x² +8(a -8) = 0有2个实数解，二者有2个公共点