Question

高中数学竞赛不等式

xy+yz+zx=1，x,y,z>0
求证

Answer 1

因为xy+xz+yz=1，x，y，z>=0
（xy）2/z+(xz)2/y+(yz)2/x+3xyz－（xy）2/x－(xy)2/y－(xz)2/x－(xz)2/z－(yz)2/y－(yz)2/z>=0
(xy)2(1/z+z/xy－1/x－1/y)+(xz)2(1/y+y/xz－1/x－1/z)+(yz)2(1/x+x/yz－1/y－1/z)>=0
xy（y－z）（x－z）/z+yz(y－x）（z－x）/x+xz（x－y）（z－y）/y>=0
当x>y>z时
yz（y－x）（z－x）/x>0，xz（x－y）（z－y）+xy(x－z)(y－z)>0
同理，当x>z>y，y>x>z，y>z>x，z>x>y，z>y>x时依旧可以得到上述结果，当三者相等时为零，所以成立

Answer 2

柯西不等式) ∴2[(b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b)]≥4(a+b+c) 整理可得: 2(a+b+c)+2(a +b +c 且各项相同可取等号 检验二字即可

Answer 3

两边同乘xyz然后用基本不等式即可，so easy!
求采纳 ！！

追问

so？