Question

高中数学竞赛不等式

如下图

Answer 1

证明：
∵1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≥1
∴两边同乘以-1,再加3,可得:
[1-1/(1+b+c)]+[1-1/(1+c+a)]+[1-1/(1+a+b)]≤2.
整理可得:
[(b+c)/(1+b+c)]+[(c+a)/(1+c+a)]+[(a+b)/(1+a+b)]≤2
该不等式两边同乘以(b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b).
可得
2[(b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b)]≥
[(b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b)]×[(b+c)/(1+b+c)+(c+a)/(1+c+a)+(a+b)/(1+a+b)]
≥[(b+c)+(c+a)+(a+b)]² .(该步应用了柯西不等式)
∴2[(b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b)]≥4(a+b+c)²
整理可得:
2(a+b+c)+2(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca)≥2(a+b+c)²
∴(a+b+c)+(a²+b²+c²)+(ab+bc+ca)≥a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
∴整理可得:
a+b+c≥ab+bc+ca.

Answer 2

此题可从结论入手
首先a+b+c≥ab+bc+ca 然后在单项看 若a+b+c≥ab+bc+ca 则 a≥ab b≥bc c≥ca
又a b c为正数 所以a≤1 b≤1 c≤1
则1/1+a+b≥1/3 当a=b=c=1时取等号 所以（1/1+a+b）+（1/1+b+c）+（1/1+a+c）≥1