Question

初中几何题（平行四边形）

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

证：（1）CF∥DE，
∠BDE=∠BCF，
∠ADC=120°-∠BDE，∠BFC=120°-∠BCF，
∠ADC=∠BFC，
∠AFC=∠ADB，∠A=∠B=60°，AC=AB，
△ADB≌△CEA，
FC=AD=DE，CF∥DE，
四边形CDEF为平行四边形，EF=CD。
（2）在（1）的条件下△AEF和△ABC的面积比1:4。
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是然成立。
在（1）中已证明。

Answer 2

⑴证：∵D是等边△ABC中BC边的中点，∴∠BAD=30º、AD⊥BC、AB=AC、∠B=∠FAC=∠ACB=60º
∵△ADE是等边三角形 ∴∠ADE=60º、AD=DE ∴∠BDE=∠BDA－∠ADE=90º－60º=30º
∵CF∥DE ∴∠BDE=∠BCF=30º ∴∠ACF=∠ACB－∠BCF=60º－30º=30º
在△ABD和△CAF中
∠B=FAC、AB=AC 、∠BAD=∠ACF=30º
∴△ABD≌△CAF (ASA) ∴CF=AD