Question

高数 微分方程求解！ y″-y′-x=0

Answer 1

y″-y′=x，特征方程a^2-a=0的根为0,1，齐方程的通解为：y=C1+C2e^x
因为0是根，设特解为：Y=x(Ax+B)，代入得：A=1/2，B=-1
所以：通解为y=C1+C2e^x+x(1/2*x-1）

追问

这个用y″=f(x,y′)型的能解吗?

追答

可以。但降价比二次常系数线性方程解麻烦点

追问

那怎么解呢？我设y′=p 做到　dp/dx-p-x=0就不懂了…

追答

就是P'-P=X，一阶线性微分方程

追问

然后左右同时对X积分吗？积分变成p-px-1/2x^2=0？

追答

错，用一阶线性微分方程的通解公式

追问

那要先算齐次方程的解然后再做吧？

追答

一阶线性微分方程有通解公式，不需要先算齐次，直接代入就可

追问

哦哦，我刚才翻书看到了，谢谢了啊

Answer 2

y″-y′-x=0
y″-y′=x
齐次特征方程
r^2-r=0
r=0,r=1
齐次通解y=C1+C2e^x
非齐次特解，观察得y=-1/2x^2
因此非齐次通解为
y=C1+C2e^x-1/2x^2

追问

这个用y″=f(x,y′)型的能解吗?书上的答案是y=C1e^x-1/2x^2-x+C2

追答

差别在特解上，我的特解解错了

Answer 3

y''-y'-x=0
y''=y'+x
y''+1=y'+x+1
(y'+x+1)'=y'+x+1
d(y'+x+1)/(y'+x+1)=dx
y'+x+1=Ce^x
y'=Ce^x-x-1
y=Ce^x-x^2/2-x+C1

追问

dx变Ce^2看不明白…麻烦讲解下

追答

d(y'+x+1)/(y'+x+1)=dx 也可t=y'+x+1 dt/t=dx
ln|y'+x+1)=x+lnC ln|t|=x+lnC
y'+x+1=Ce^x t=Ce^x y'+x+1=Ce^x