Question

一道高中数学双曲线的计算题，尤其是第二问，我实在不会，求大家帮帮...

一道高中数学双曲线的计算题，尤其是第二问，我实在不会，求大家帮帮忙，
已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(b>a>0),O为坐标原点离心率e=2，点M（根号5，根号3）在双曲线上，
1，求双曲线的方程
2，若直线L与双曲线交与P,Q两点，且OP向量乘OQ向量=0，求|OP|^2+|OQ|^2的最小值

Answer 1

1
e=c/a=2
则b=根号（c^2-a^2）=根号3a
即曲线x^2/a^2-y^/3a^2=1带入M，得a=2 则曲线的方程
：x^2/4-y^/12=1
2
OP向量乘OQ向量=0，即OP⊥OQ则|OP|^2+|OQ|^2=|PQ|^2
说到这，当PQ都在同一侧的曲线上时才有最小值，则当OP=OQ时即有最小值，即直线PO，QO与x轴夹角均为45°
则|PQ|^2最小值=24
有点简略，不懂再问吧！

Answer 2

1、由题设： 5/a^2-3/b^2=1 a^2+b^2=c^2=(ae)^2=4a^2
解得：a=2，b=2√3
两个向量内积为零，说明它们垂直。那么△POQ为直角三角形。设P(x，y)、Q（s，t）于是有：
xs=-yt
另外把P、Q代入双曲线方程会得到两个方程，用这三个方程来化简要求的式子
|OP|^2+|OQ|^2= x^2+y^2+s^2+t^2=4x^2+4s^2-24………………（1）
xs=-yt，两边平方可以得到x^2s^2=s^2(12-3x^2(12-3s^2) ………………（2）
（1）式（要求最值的式子）化简：4（x^2+s^2-6）
（2）式（约束条件） 化简：2x^2s^2-9(x^2+s^2)+36=0
（为了方便下面好打字也好看点记x^2=A，s^2=B）
(2)式=2AB-9(A+B)-36=0 (1)式=4（A+B-6） 【到这里可以构造拉格朗日函数求最值】
这题看起来是高中的，许多高中生不知道拉格朗日函数求最值问题，下面给出一种利用缩放来求最值的方法
(1)式中只含有（A+B） (2)式除了含（A+B）外还含有AB,那么利用均值不等式将AB缩放为（A+B）的形式：2AB-9(A+B)-36=0 ===》 （A+B）^2/2-9（A+B）-36>=0
将（A+B）看成一个整体左边配方很容易求出（A+B）>=12 【此处还要利用下A+B>8（PQ在双曲线上）排除另外一组解】
由（A+B）>=12很容易求出我们的目标 |OP|^2+|OQ|^2=4（A+B-6）>=24
至于等号是否能取到，根据均值不等式等号成立的条件可知A=B=6时，可以取到等号。（可以验证满足在双曲线上的条件）。

最后说明下取到最值时PQ的位置，因为等号成立要求A=B，则x=s或者x=-s
这两种情况都能取到，过原点作两条斜率为1和-1的直线，所得的4个交点，任意两个相邻的点都是满足取最值的条件的，并不是像楼上所说的只能在同一侧，异侧也行。
至于他为什么能知道45°取极值，估计用到了比较好的平面几何思路，我这是纯解析几何思路，计算量稍大。

Answer 3

做完了这道题，可以去《题典》（很厚的一本书，高中时买的对我帮助挺大的）里再看几道类似的问题。数学这门学科在于总结，越是难的问题问题的解法往往都有相似的思路。
学好数学：
1、多多练习(不同类型)；
2、善于总结（尤其是自己不会的）。
仅此而已!!!!!!!!!

Answer 4

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