Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-2n,n属于N*,

(1)求数列（an）的通项公式
（2）若bn=log3（a（3n-2）+1），①求｛1/bnbn+1｝的前n项和Tn；②是否存在正整数m，使得（b（m+1）×b（m+2）+8）/（bm +2）为数列｛bn｝中的项，若存在请求出m的值，不存在请说明理由。
求助！！

Answer 1

解：（1）令n=1，可求得a1=2
当n>=2时
由2Sn=3an-2n
得2S(n-1)=3a(n-1)-2(n-1)
两式相减得2an=3an-3a(n-1)-2
整理得（an+1)/(a(n-1)+1)=3
设Tn=an+1
则数列{Tn}是首项为3公比为3的等比数列
Tn=3^n
则an=3^n-1
a1=2符合an
综上an=3^n-1

(2)①将an=3^n-1代入bn=log3（a（3n-2）+1）
得bn=3n-2
Tn=1/b1b2+1/b2b3、、、+1/bn*b(n+1)
=1/1*4+1/4*7、、、+1/(3n-2)(3n+1)
=1/3 ( 1-1/4+1/4-1/7、、、+1/(3n-2)-1/(3n+1) )
=1/3 ( 1-1/(3n-1) )
=1/3-1/3*(3n+1)
②假设存在
则（b（m+1）×b（m+2）+8）/（bm +2）=3n-2
3m+5+4/m=3n-2
n=7/3+m+4/3m
因为n、m属于N*
可得出m=2时，n=5符合n、m属于N*
所以假设成立
综上m=2

Answer 2

(1)由题 2Sn=3An - 2n①
2Sn-1=3An-1 -2(n-1)②
①-②得2An =3(An -An-1)-2
即An=3An-1 +2
变形An +1 =3(An-1 +1)
令Cn=An +1 有Cn=3Cn-1 等比数列
C1 =3 Cn=3^n 即An=3^n -1
(2)易得Bn=3n-2
①1/BnBn+1 =(1/3)*[1/(3n-2)- 1/(3n+1)]
裂项相消易得Tn=(1/3)*[1- 1/(3n+1)]
②假设存在为第k项，不妨令Bm +2 为t 则有 [(t+1)(t+4)+8]/t =3k-2
整理得t + 12/t +7 =3k 易知1≦t≦12 t,k∈N*
可取t=1,2,3,4,6,12 代入 可得t=2,6时 使k有整数解
又t=Bm 在定义域内唯一存在m=2 使t=6
假设成立，m=2