Question

已知函数f(x)=x|x-a|-2,当x∈[1,2]时,f(x)<0恒成立.则实数a的取值范围是？

过程！！注意绝对值前还有个x

Answer 1

f(x)=x|x-a|-2=(x-a/2)^2-(2+a^2/4),x>=a;-(x-a/2)^2-(2-a^2/4) ---->分段函数，大致图像自己可以画。
所以：当a/2<1时，f(a/2)已不在定义域内，（根据图像可以判定单调性，这里不是一步到位）故只需满足：f(1)<0且f(2)<0，代入原函数并综合a<2，解得：1<a<2.
当1<=a/2<2时，图像上有一个水平长度|a-a/2|=|a/2|，这个长度会小于2，所以整个函数定义域内的图像会在第二段分段函数上，即x<a时的那一段函数上，最大值即为f(a/2)，所以只需满足：f(a/2)<0，代入第二段分段函数并综合1<=a/2<2解得：2<=a<4。
当a/2>=2时，此时f(x)在定义域内为增函数，所以只需f(2)<0即可，代入原函数并综合
a/2>=2解得：无解。
综上所述，解得a的范围为：1<a<4.

这是一道数形结合解题的综合类题目，上面节点的选取都是根据图像单调性确定的，而不是想当然的决定谁就是最大最小值，或者你可以先用文字的形式判定单调性，而不用数形结合，不过这样做难度更大，因为没有图像作导航可能没那么快找到突破口。如有不懂欢迎追问。

追问

f(x)=x|x-a|-2<0
化为|x-a|<2/x,即-2/x<x-a<2/x,即x-2/x<a<x+2/x
x+2/x用基本不等式求得≥2√2
因为x-2/x单调递增，
所以x-2/x最小值为x=2时，等于1
综上所述：1<a<2√2
这个应该是正确答案。。。。
但是还是谢谢，态度很好，O(∩_∩)O~

追答

你这个回答很精辟，很直观。我的解答不知道结果和你的不一样，想问一下，过程有问题吗？还是我解答过程算错？

追问

没太看懂你的过程，但是我认为要是讨论的话，应该将X和a的大小分类，再分别打开，得两个二元方程，再分别用求根公式求出两根，分别讨论两根与1,2的大小关系，因为x∈[1,2]时,f(x)<0，所以f（1）＜0，f（2）＜0，求得范围与上面求交集。
其实这个题直接讨论不是最优的方法，太复杂。

追答

过程是很复杂，你的方法是巧用，但不是很多此类题型都可以这么结算；我的方法应该说是传统解法，只是过程中我不知道哪个地方算错了，后面也没去研究了。我的仅仅是传统方法，呵呵！

追问

类似的题目其实最基本的还是保守的解法，但有时候也得掌握一些技巧，不管怎样还是谢谢你~~

追答

这道题的第二个分类分析，求解f(a/2)1，矛盾；当1<a<2时，最大值应为f(a)，所以应满足f(a)<0，解得恒成立，所以第一个分析结果综合前提条件解得：1<a<2
这样综合起来a的范围就是您所说的结果了。说明解题过程没错，只是计算错误。这是传统方法，您可以再研究研究，希望对您有帮助！