Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x，若对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

不等式 f(x)>a 化为 (x^2+2x+a)/x>a ，
由于 x>=1 ，因此 x^2+2x+a>ax ，
即 x^2+(2-a)x+a>0 在 [1，+∞）上恒成立，
令 g(x)=x^2+(2-a)x+a ，抛物线开口向上，对称轴 x=(a-2)/2 ，
所以，（1）当 (a-2)/2<1 即 a<4 时，g(1)=1+(2-a)+a>0 ，解得 a<4 ；
（2）当 (a-2)/2>=1 即 a>=4 时，g((a-2)/2)= -(a-2)^2/4+a>0 ，解得 4<=a<4+2√3 ；
取并集得 a < 4+2√3 。

Answer 2

解：由函数f(x)=(x^2+2x+a)/x，对任意x∈[1,+∞),f(x）>a恒成立
即(x^2+2x+a)/x>a对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立
即 x^2+2x+a>ax对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立
1、当x=1时，a可以取任意实数
2、当a>1时，用分离参数法，即a<(x^2+2x)/(x-1)，对任意x∈（1,+∞)恒成立
下面就是求g(x)=(x^2+2x)/(x-1)，x∈（1,+∞) 的最小值
令t=x-1,t>0.。g(t)=t+3/t+4>=4+2√3，当且仅当t=√3，即x=√3+1时取等号，
此时a<√3+1
综合1、2、可知，a∈(-∞,√3+1)