Question

如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向中点A

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向中点A运动，同时动点Q从点A出发沿着对角线
AC向中点C运动。过点P做PE平行DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动。设PE=y；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE 为梯形
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由

Answer 1

（（2）①显然，当QB∥PE时，四边形PQBE是矩形，非梯形，不合题意，舍去；
②当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ ∴∠AQP=∠CEB
∵AD∥BC ∴∠PAQ=∠BCE ∴⊿PAQ∽⊿BCE ----------- 6分
∴ 即：
∴ ----------- 8分
∴当 时，QP∥BE而QB与PE不平行，四边形PQBE是梯形。

（3）存在。分四种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=
①当QE=PE时， ∴
②当QP=QE时，∠QPE=∠QEP
∵∠APQ+∠QPE=90° ∠PAQ+∠QEP=90°
∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE
∴ ∴
③当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
则FE= QE=
∵PE∥DC ∴∠AEP=∠ACD
∴cos∠AEP= cos∠ACD=
∵cos∠AEP= ∴
④当点Q在线段EC上时，⊿PQE只能是钝角三角形，
∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE
∴ ∴
综上，当4/3 或 20/13或28/27 或8/3 时，⊿PQE为等腰三角形。