Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动

同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两

点同时停止运动．设PE=y；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
详细的答案。步骤！！谢谢！！【如果可以最好从菁优网上复制】

Answer 1

1
|PD|=1·x;
则|PA|=AD-PD=BC-PD=4-x;
PE/CD=PA/AD→PE=(PA/AD)·CD
即y=(3/4)(4-x).

2
四边形PQBE为梯形时，显然PQ∥BE.
则∠PQE=∠BEQ
则∠AQP=∠BEC
而由于AD∥BC,→∠CAD=∠ACB
所以△APQ∽△BEC
→AP/BC=AQ/CE
即(4-x)/4=(1·x)/CE
而CE=PD·(AE/PA)
=x·( (AC/CD)·y/(4-x) )

=x·( (√(3²+4²)/3)·y/(4-x) )
=x·( (5/3)·(3/4)(4-x)/(4-x) )
=(5/4)x
因此

(4-x)/4=x/( (5/4)x )
x=4/5。

3
存在。分四种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=(5/4)(4-x) -1·x=5- (9/4)·x
①当QE=PE时，
5- (9/4)·x=y=(3/4)(4-x)=3-(3/4)·x
→(3/2)x=2,
x=4/3.
②当QP=QE时，∠QPE=∠QEP
∵∠APQ+∠QPE=90° ∠PAQ+∠QEP=90°
∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE
∴ x= 5- (9/4)·x
∴x=20/13
③当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
则FE= QE=5- (9/4)·x
∵PE∥DC ∴∠AEP=∠ACD
∴cos∠AEP= cos∠ACD= 3/5
∴ x=28/27
④当点Q在线段EC上时，⊿PQE只能是钝角三角形，
∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE
∴x=8/3
综上，当4/3 或 20/13或28/27 或8/3 时，⊿PQE为等腰三角形。