Question

已知函数f(x)={(a-2)x-1,x≤1,logax,x>1,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是?

答案是(2,3],求过程,好人一生平安啊..

Answer 1

已知函数f(x)=(a-2)x-1，当x≤1；f(x)=log‹a›x，当x>1,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的
取值范围是?
解：由于f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，故应保证阶段函数f(x)在(-∞,+∞)是递增的，但允许在x=1
处不连续。
为使x>1时f(x)=log‹a›x是递增的，必须使a>1................................................①；
由于x→1limlog‹a›x=0，故应取f(1)=(a-2)×1-1=a-3≦0，即a≦3...................②；
为使x≦1时f(x)=(a-2)x-1是递增的，必须使其斜率k=a-2>0，即a>2...............③；
①∩②∩③={a︱2<a≦3}.

Answer 2

根据题意：
1.对数函数单调增，所以a>1 a>1
2.一次函数单调增，所以a-2>0 a>2
3.x≤1的最大值不大于x>1时的下界，所以(a-2)-1≤loga1=0 a≤3

所以 2<a≤3

Answer 3

f(x)的导数= a-2 ,x≤1
(1/x)lna ,x>1
应为是增函数，所以f(x)的导数>0
a-2>0 得a>2
(1/x)lna >0 得a>1
除此之外，当x=1时（a-2)x-1<=logax
a-3<=loga1=0
a<=3
综上所述(2,3]