Question

已知f(x)=x²+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)

求大神帮助解析、还有另一个问题、其中如何得出±2.5的.拜托了
呃。。。看的好迷茫。 看不懂呃。。。

Answer 1

解：求导 令f'(x)=2x+4=0，x=-2，当x》-2时，单调增加；当x《-2时，单调减少。x=-2为极小值点
如果t》-2，则最小值为f(t))=t^2+4t+3，最大值为f(t+1)=t^2+6t+8。
如果t+1《-2，则最小值为f(t+1)=g(t)=(t+1)^2+4(t+1)+3=t^2+6t+8，,最大值为f(t))=t^2+4t+3。
如果 t《-2《t+1，f(t)=t^2+4t+3，f(t+1)=t^2+6t+8，f(t+1)-f(t)=2t+5，f(-2)=-1为最小值
当t》-2.5，即f(t+1)-f(t)=2t+5》0，f(t+1)》f(t) ， 最大值为f(t+1)
当t《-2.5，即f(t+1)-f(t)=2t+5《0，f(t+1)《f(t) ， 最大值为f(t)

学过高等数学吗？

追问

。。没。 怎么看都理解不了

追答

我再给你讲下，用中学知识。是这样：你那函数在区间一定有最大值和最小值
二次函数在x=-2为极小值点，也是最小值点；从函数图象看：当x》-2时，f(x)单调增加；当x《-2时，f(x)单调减少。
如果t》-2，函数是增加的，t+1》-2。则最小值为f(t))，最大值为f(t+1)。
如果t+1《-2，函数是减少的，t《-2。则最小值为f(t+1）最大值为f(t)。
如果t在中间，即t《-2《t+1，怎么办？首先x=-2为极小值点，也是最小值点，f(-2)=-1为最小值。然后你要比较f(t+1)和f(t)谁大？由于f(t+1)-f(t)=2t+5。
你就要看 f(t+1)-f(t)=2t+5>0 谁大？ f(t+1)-f(t)=2t+5<0谁大？

Answer 2

f(x)=x^2+4x+3,对称轴是x=-2，开口向上
只要讨论对称轴和区间的关系就行了
(1)
如果t+1<-2
t<-3
最小值在t+1处取得
g(t)=(t+1)^2+4(t+1)+3
g(t)=t^2+6t+8
最大值h（t）=t^2+4t+3
(2)
如果t<-2<=t+1
-3<=t<-2
g(t)=-1
如果 -2-t<t+1-(-2) 即-2>t>=-5/2 端点t离对称轴近
所以最大值在t+1处取得
h（t)=(t+1)^2+4(t+1)+3=t^2+6t+8
如果-3<=t<-5/2 端点t+1离对称轴近
最大值在t处取得
h（t）=t^2+4t+3
(3)
如果t>=-2
g(t)=t^2+4t+3
在t+1处取得最大值
h(t)=(t+1)^2+4(t+1)+3=t^2+6t+8

最后的结论自己整理出即可
注意可能会存在某些可以合并的情况