Question

如图,E是正方形ABCD的边AB上的动点,EF⊥DE交BC于点F。

如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F。
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，请用x的代数式表示y；
（3）在条件（2）下，当E点在AB上运动到什么位置时，△ADE∽△EDF

Answer 1

（1）证明：因为 四边形ABCD是正方形，
所以 角A=角B=90度，
所以 角AED+角ADE=90度，
因为 EF垂直于DE，
所以 角DEF=90度，
所以 角AED+角BEF=90度，
所以 角ADE=角BEF，
所以 三角形ADE相似于三角形BEF。
（2）解：因为 三角形ADE相似于三角形BEF，
所以 AE/BF=AD/BE
因为 正方形的边长为4，AE=X，BF=Y，
所以 X/Y=4/（4--X），
所以 Y=--4分之1的X平方+X。
（3）当E点在AB上运动到AB的中点时，三角形ADE相似于三角形EDF。

Answer 2

（1）证明：
∵∠DEF=90°
∴∠AED+∠BEF=90°
∵∠AED +∠ADE=90°
∴∠ADE =∠BEF
∵∠A =∠B
∴△ADE∽△BEF
(2)∵△ADE∽△BEF
∴AD/BE=AE/BF
∵AE=x,BF =y,AD =4
∴4/x=(4-x)/y
∴y=-1/4x^2+x
∴y=-1/4(x-2)^2+1
∴当x=2时，y值最大，最大为1
（3）
设AE=a BE=b BF=x
△ADE相似于△BEF
AD/AE=EB/BF
x=ab/6
因为a+b=6
所以ab最大为9 此时a=b （基本不等式a^2+b^2≥2ab）
E在AB 中点时