Question

如图,四边形ABCD中,AC垂直BD于O,点E,F,G,H分别为AD,AB,BC,CD的中点

（1）求证四边形EFCG是矩形 （2）若AC=BD，求证四边形EFGH是正方形

Answer 1

第一个问题：
∵AF＝BF、AE＝DE，∴FE＝BD/2、FE∥BD。
∵CG＝BG、CH＝DH，∴GH＝BD/2、GH∥BD。
由FE＝BD/2、GH＝BD/2，得：FE＝GH。
由FE∥BD、GH∥BD，得：FE∥GH。
由FE＝GH、FE∥GH，得：EFGH是平行四边形。

∵BF＝AF、BG＝CG，∴FG∥AC，又AC⊥BD，∴FG⊥BD，而GH∥BD，∴FG⊥GH，
∴平行四边形EFGH是矩形。

第二个问题：
∵BF＝AF、BG＝CG，∴FG＝AC/2，又GH＝BD/2、AC＝BD，∴FG＝GH，
∴矩形EFGH是正方形。

Answer 2

第一个
∵AF＝BF、AE＝DE，∴FE＝BD/2、FE∥BD。
∵CG＝BG、CH＝DH，∴GH＝BD/2、GH∥BD。
由FE＝BD/2、GH＝BD/2，得：
由FE∥BD、GH∥BD，得：
由FE＝GH、FE∥GH，得：EFGH是平行四边形。

∵BF＝AF、BG＝CG，∴FG∥AC，又AC⊥BD，∴FG⊥BD，而GH∥BD，∴FG⊥GH，
∴四边形EFGH是矩形

第二个问题：
∵BF＝AF、BG＝CG，∴FG＝AC/2，又GH＝BD/2、AC＝BD，∴FG＝GH，
∴矩形EFGH是正方形。