Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD=DC≠AB。

连接BD交AC于点O，若点P是线段AB的中点，点P到四边形ABCD的两条对角线AC和BD的距离相等，求证四边形ABCD是等腰梯形。

Answer 1

因为AC平分角DAB且AD=DC，
所以角DCA=角CAB
所以DC//AB
因为点P是AB的中点且点P到AC和BD的距离相等
所以AO=BO
所以三角形AOB为等腰三角形
所以角CAB=∠DBA
根据边角边，可证明△DAB≌△CBA
所以DA=CB
因为DC//AB,DA=CB
所以四边形ABCD为等腰梯形

Answer 2

证：DC//AB ,AC平分∠DAB
所以：∠DCA=∠CAB==∠DCA
又因为P是线段AB的中点，点P到四边形ABCD的两条对角线AC和BD的距离相等
所以AO=BO ,DC//AB 即∠CAB==∠DBA
△DAB≌△CBA
即得：ABCD是等腰梯形