Question

已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，使PA垂直平面ABCD，PA=啊，求二面角B-PC-D的大小

Answer 1

做底面是正方形，PA垂直底面的四棱锥。
PA=AB=a→PB=√2a=AC
PA=a,AC=√2a→PC=√3a
在三角形PBC中，PB=√2a,PC=√3a,BC=a→三角形为直角三角形。
→BC垂直PB
取PB中点M，连接AM,则AM垂直PB。又BC垂直PB,且BC平行AD，则角PAD为A-PB-C平面角。
PA垂直面，PA垂直AD,又AD垂直AB…则AD垂直面PAB，二面角等于九十度。

过B做PC垂线BN，由边的长度可以算出BN=((√6)/3)a。再求出PD=√2a…可以知道三角形PBC全等三角形PDC。所以DN垂直PC，二面角B-PC-D平面角为角BND。连接BD,且BD=√2a。
由余弦定理，cosBND=(BN^2+DN^2-BD^2)/2BN×DN=-1/2。
所以角BND等于120度。即二面角大小

追问

DN垂直PC,这是怎么求出的，光全等不行的吧。另外DN怎么求其值

追答

过B做PC垂线BN 辅助线

Answer 2

过点B作BE#PC,连接ED 连接BD ^BED为所求的角（自已证明）
在三角形BED中用余弦定理
BD=V2a=AC=PB PC=V3a PC*BE=PB*BC V3a*BE=V2a*a BE=V2/V3=DE
COS^BED=[BE^2+DE^2-BD^2]/[2*BE*DE]=-1/2 ^BED=120度