Question

已知边长为a的正方体ABCD外有一点P,使PA⊥平面ABCD，PA＝a,求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小

Answer 1

做底面是正方形，PA垂直底面的四棱锥。
PA=AB=a→PB=√2a=AC
PA=a,AC=√2a→PC=√3a
在三角形PBC中，PB=√2a,PC=√3a,BC=a→三角形为直角三角形。
→BC垂直PB
取PB中点M，连接AM,则AM垂直PB。又BC垂直PB,且BC平行AD，则角PAD为A-PB-C平面角。
PA垂直面，PA垂直AD,又AD垂直AB…则AD垂直面PAB，二面角等于九十度。
过B做PC垂线BN，由边的长度可以算出BN=((√6)/3)a。再求出PD=√2a…可以知道三角形PBC全等三角形PDC。所以DN垂直PC，二面角B-PC-D平面角为角BND。连接BD,且BD=√2a。
由余弦定理，cosBND=(BN^2+DN^2-BD^2)/2BN×DN=-1/2。
所以角BND等于120度。即二面角大小