Question

已知抛物线y=ax^2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

PS:第一题解在图中……

（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A点坐标为（3，0），

∴D点的坐标为：（0，3），

∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=-1，

∴y=-x+3，

∴y=1/2x^2-2/5x+3=-x+3，

∴x 2-3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3或0（不合题意舍去），

∴P点坐标为（0，3），

∴点P、C、D重合，

当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，

由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），

∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=-1，

∴y=-x+5，

∴y=1/2x^2-2/5x+3=-x+5，

∴x^2-3x-4=0，

解得：x1=-1，x2=4（舍），

∴y=6，

∴P点坐标为（-1，6），

∴点P的坐标为：（-1，6），（0，3）；

（3）如图（2）：作EM⊥AO于M，

∵∠OAC=∠OAF，

∴AC⊥AF，

∵s△FEO=OE×OF，

OF最小时s△FEO最小，

∵OE⊥AC时OF最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直线CA上，

∴E点坐标为（x，-x+3），

∴x=-x+3，

解得：x=3/2，

∴E点坐标为（3/2，3/2）．

Answer 2

把A（3，0），B（4，1）代入y=ax^2+bx+3可得
9a+3b+3=0
16a+4b+3=1
解得a=1/2
b=-5/2

Answer 3

求什么呢？