Question

已知矩阵 A=[ -2 1 1; 0 2 0 ; -4 1 3 ] 求A的全部特征向量.

同济线性代数第五版page 119 例7.
λ 2=λ 3=2的特征向量怎么求出来的，不明白。
下面一行为什么它又说 "...λ 2=λ 3=1的全部特征向量.."。

Answer 1

用Matlab计算，特征值为λ1=-1 λ2=λ3=2
************************************
特征向量，就是解
(A-λE)x=0
这个齐次方程的解
λ=2时
A-λE
= -4 1 1
0 0 0
-4 1 1

注意到它的秩是1
通过 凑数 的方法来得到特征向量
比如（0,1,-1）和 （1,2,2）
当然，这个不是唯一的

下面那行是印刷错误

不明白的地方，欢迎追问！

追问

是只要满足-4x1+x2+x3=0就行吗。
还有例6，λ2＝λ3＝1只有一个基础解系，例7 λ2=λ3=2有两个基础解系，这个怎么确定的。

追答

是只要满足-4x1+x2+x3=0就行吗??
答：对
************************************
基础解系，这个怎么确定的？
答：设
A的维数dim(A)=n
A-λE的秩rank(A)=r
则，基础解系数量=n-r

追问

先到先得。

Answer 2

|A-λE| 先按第2行展开, 然后用对角线法则求出2阶行列式
得 |A-λE| = - (λ+1)(λ-2)^2
所以A有3个特征值 -1, 2, 2 (重根按重数计)
记为 λ1=-1, λ2=2,λ3=2

A-2E 经初等行变换化为
-4 1 1
0 0 0
0 0 0

将 x1,x2 视为自由未知量, 分别取 (1,0), (0,1) 即得基础解系 (1,0,4)^T, (0,1,-1)^T

最后一行是编辑错误, 应该是 " λ 2=λ 3=2 的全部特征向量"

追问

更正：用户 981059152 回答有一点一点小问题，请看用户 lry31383 。 感谢你们。

Answer 3

当特征值为2时，将 x3看作因变量，x1, x2为自变量，则x3= 4 x1 － x2. 所以[x1,x2,x3]=[x1,x2,4 x1－ x2]=x1＊[1,0,4]＋x2*[0,1,-1] 。就出现了书上所列出的当特征直为2时的基础解系。全部的特征向量即为解系。后面的结论中特征值误写成1,应是2。