Question

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4)B(1,0)C（5,0）抛物线对称轴与X轴交于M.(1）求抛物线解析式

（2）设点P为抛物线（X＞5）上一点，若以A,O,M,P为顶点的四边形的长度为四个连续正整数，请你直接写出点P坐标。
（3）连接AC，探索AC下方抛物线是否有一点N，使△NAC面积最大？若存在，请你求出N点坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
把点A（0，4）代入上式得：a=45，
∴y=45（x-1）（x-5）=45x2-245x+4=45（x-3）2-165，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM=OA2+OM2=42+32=5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，45t2-245t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-45x+4；
把x=t代入得：y=-45x+4，则G（t，-45t+4），
此时：NG=-45x+4-（45t2-245t+4）=-45t2+4t，
∵AM+CF=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AM×NG+12NG×CF=12NG•OC=12（-45t2+4t）×5=-2t2+10t=-2（t-52）2+252，
∴当t=52时，△CAN面积的最大值为252，
由t=52，得：y=45t2-245t+4=-3，
∴N（52，-3）．

Answer 2

1. M 为BC中点(3,0)
y = a(x-3)^2 - b
x = 1 or 5, 4a-b = 0
x = 0, y = 4, 9a - b = 4
a = 4/5
b = 16/5

2。AO=4， OM = 3， MP = 5，PA = 6
所以Py^2 + (Px-3)^2 = 25, Py = 4/5 (Px-3)^2 - 16/5
(Px-3)^2 = 4 + 5/4 Py
Py^2 + 4 + 5/4 Py = 25
Py = 4, Px = 6
PA = 6

3. 设N坐标为(x,y), y = 4/5 (x-3)^2 - 16/5
求NAC面积取极值