Question

看上去简单却十分难的一道几何证明题 求数学高手解答

如图，△ABC中，BE、CD分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，且BE=CD。求证：△ABC是等腰三角形。

Answer 1

　如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。
　　证法①
　　作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC
　　∵BD=EC，
　　∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.

示意图
设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，
　　∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
　　∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
　　∴∠FBC=∠CDF，
　　∵2α+2β<180°,
　　∴α+β<90°，
　　∴∠FBC=∠CDF>90°
　　∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.
　　设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD
　　连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB
　　∴AB=AC.
　　证法②
　　设二角的一半分别为α、β
　　sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
　　∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
　　→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0
　　→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
　　→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
　　，∴sin[(α-β)/2]=0
　　∴α=β,∴AB=AC.
　　证法③
　　用张角定理：
　　2cosα/BE=1/BC+1/AB
　　2cosβ/CD=1/BC+1/AC
　　若α>β 可推出AB>AC矛盾！
　　若α<β 可推出AB <AC矛盾！
　　所以AB=AC