Question

Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB＝8，点C为AB边的中点

抛物线的顶点是原点O，且经过C点．

（1）填空：直线OC的解析式为 ；

抛物线的解析式为 ；

（2） 现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；

①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；

②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

解：1，因为C（2,4）,直线OC的解析式为y=2x, 顶点在原点，且过C的抛物线解析式为y=x²； 2, 1，若BDOC是平行四边形，则BC∥OD，且OD=BC，因为BC=4，所以D（0,4）,。2，0＜s＜8.

Answer 2

抛物线的顶点是原点O，且经过C点．

（1）填空：直线OC的解析式为 ；

抛物线的解析式为 ；

（2） 现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；

①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；

②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．

Answer 3

• 解：（1）∵OA=2，AB=8，点C为AB边的中点
  ∴点C的坐标为（2，4）点，
  设直线的解析式为y=kx
  则4=2k，解得k=2
  ∴直线的解析式为y=2x，
  设抛物线的解析式为y=kx2
  则4=4k，解得k=1
  ∴抛物线的解析式为y=x2

（2）设移动后抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m

当OD=BC，四边形BDOC为平行四边形， 
∴OD=BC=4，
①则可得x=0时y=4，
∴m2+2m=4，
∴（m+1）2=5
解得m=-1±√5

m=-1-√5（舍去）

∴m=-1+√5

y=(x+1-√5)²+2(-1+√5)

②S=-m2+2m+4

=-（m-1）2+5，
而0≤m≤2，

所以4≤S≤5．

Answer 4

（1）y=2x y=x²
（2）①根据直线OC解析式，设点M（b,2b)所以平移后抛物线y=(x-b)²+2b，因为平行四边形，所以OD=BC=4，D（0,4）将D带入抛物线b=根号5-1，y=x^2+(2-2√5)x+4
②因为y=(x-b)²+2b，所以E（2，b²-2b+4）所以S=-（b-1)²+5（4≤S≤5）

Answer 5

y=2x, y=x^2
设抛物线的顶点为（m,2m），则解析式为y=1(x-m)^2+2m,化简之后可得y=x^2-2xm+m^2+2m与y轴交于点(0,m^2+2m) ,所以有m^2+2m=4，解之得，m即为所求。