Question

如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=3

如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处。（1）求D点坐标；（2）若抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，参考公式：抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点坐标是 。

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Answer 1

解：（1）过点D作DC⊥x轴于点C，如图（1）， 由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30°， ∴∠DOC=30°， 在Rt△COD中， OC=OD·cos30°=3× ， CD=OD·sin30°=3× ， ∴D ；	（1）
（2）在Rt△AOB中，AB=AO·tan30°=3× ， ∴B（ ，3）， ∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）经过B（ ，3），D 两点， ∴ 解得 ∴此抛物线表达式为y=- ；
（3）存在符合条件的点P，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）， ∵E为抛物线y=- 的顶点， ∴E ， 设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B（ ，3）代入，得k= ， ∴y= x， ∵P在射线OB上， ∴P（x， x），F ， 则H ，G ， ∵M在抛物线上，M ， 要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM， 即 解得 ， ， ∴P 1 点坐标为（2 ，6），P 2 点坐标为 。	（2）