已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB... 已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为很等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. 展开
秋幽萌
2013-04-25 · TA获得超过196个赞
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(1)在Rt△OAB中,已知∠BOA的度数和AB的长,可求出OA的值,即可得到点A的坐标;由于△OBC由△OAB折叠所得,那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC,过C作x轴的垂线,在构建的直角三角形中,通过解直角三角形可得到点C的坐标;最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式.
(2)以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底,所以要分情况讨论:①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP;
首先设出点P的坐标,在用表达式表示出△OPC三边长后,按上面所列情况列方程求解即可.
(3)在直线OB两边,到OB的距离等于3的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,求出即可.
解答:解:(1)由已知条件,可知OC=OA=OBtan30°=23,∠COA=60°,
C点的坐标为(3,3),
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则c=012a+23b+c=03a+3b+c=3,解得a=-1b=23c=0,
所求抛物线的解析式为y=-x2+23x.
(2)由题意,设P(3,y),则:
OP2=y2+3、CP2=(y-3)2=y2-6y+9、OC2=12;
①当OP=CP时,6y=6,即
y=1;
②当OP=OC时,y2=9,即
y=±3(y=3舍去);
③当CP=OC时,y2-6y-3=0,即 y=3±23;
∴P点的坐标是(3,1)或(3,-3)或(3,3-23)或(3,3+23);
(3)
过A作AR⊥OB于R,过O作ON⊥MN于N,MN与y轴交于点D.
∵∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OA=23,OB=4,
由三角形面积公式得:4×AR=23×2,
AR=3,
∵△MOB的面积等于△OAB面积,
∴在直线OB两边,到OB的距离等于3的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,
∠NOD=∠BOA=30°,ON=3,
则OD=2,
求出直线OB的解析式是y=33x,
则这两条直线的解析式是y=33x+2,y=33x-2,
解y=33x+2y=-x2+23x,y=33x-2y=-x2+23x,
解得:x1=3y1=3,x2=233y2=83,x3=23y3=0,x4=-33y4=-53
此时,M1(3,3)、M2(233,83).M3(23,0).M4(-33,-53).
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