Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为很等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．
（3）在直线OB两边，到OB的距离等于3的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．
解答：解：（1）由已知条件，可知OC=OA=OBtan30°=23，∠COA=60°，
C点的坐标为（3，3），
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则c=012a+23b+c=03a+3b+c=3，解得a=-1b=23c=0，
所求抛物线的解析式为y=-x2+23x．
（2）由题意，设P（3，y），则：
OP2=y2+3、CP2=（y-3）2=y2-6y+9、OC2=12；
①当OP=CP时，6y=6，即
y=1；
②当OP=OC时，y2=9，即
y=±3（y=3舍去）；
③当CP=OC时，y2-6y-3=0，即 y=3±23；
∴P点的坐标是（3，1）或（3，-3）或（3，3-23）或（3，3+23）；
（3）
过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．
∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OA=23，OB=4，
由三角形面积公式得：4×AR=23×2，
AR=3，
∵△MOB的面积等于△OAB面积，
∴在直线OB两边，到OB的距离等于3的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，
∠NOD=∠BOA=30°，ON=3，
则OD=2，
求出直线OB的解析式是y=33x，
则这两条直线的解析式是y=33x+2，y=33x-2，
解y=33x+2y=-x2+23x，y=33x-2y=-x2+23x，
解得：x1=3y1=3，x2=233y2=83，x3=23y3=0，x4=-33y4=-53
此时，M1（3，3）、M2（233，83）．M3（23，0）．M4（-33，-53）．