如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐系
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，2)；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．（1）求此二次函数的解析式；
（2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由 展开
（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2√3由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2√3，
∴∠COH=60°，OH=√3，CH=3；
∴C点坐标为（√3，3）．
∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（√3，3）、A（2√3，0）两点，
∴3=3a+√3b
0=12a+2√3b，
解得 a=-1，b=2√3
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2√3x．
（2）
作A关于OC的对称点A′，BA′交OC于点Q．
∵B点坐标是(2√3，2)∴tan∠BOA=2/2√3=√3/3
∴∠BOA=30°
∴∠BOC=30°，
∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，
∴OA′与y轴的夹角是30°．
又∵OA=OA′=2√3，
∴A′的坐标是：（-√3，3）
设直线A′B的解析式是y=kx+b
根据题意得：k=-√3/9，b=8/3
则直线A′B的解析式是y=-√3/9x+8/3．
直线OC的解析式是：y=√3x
解方程组：y=-√3/9x+8/3
y=√3x解得：
x=4√3/5，y=12/5
故Q的坐标是：（4√3/5，12/5)．
（3）存在．
因为y=-x²+2√3 x的顶点坐标为（√3 ，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
因为∠BOA=30°，
所以ON=√3t，
∴P（√3 t，t）；
作PF⊥CD，垂足为F，ME⊥CD，垂足为E；
把x=√3t代入y=-x²+2 √3x，
得y=-3t2+6t，
∴M（ √3t，-3t2+6t），E（ √3，-3t2+6t），
同理：F（ √3，t），D（√3 ，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=FD，
即3-（-3t2+6t）=t-1，
解得t=4/3，t=1（舍），
∴P点坐标为（ 4√3/3，4/3），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（ 4√3/3，4/3）．
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3，
∴C点坐标为（根号3，3）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（根号3，3）、
A（2倍根号3，0）两点，
∴，解得：a=-1,b=2倍根号3；
∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2倍根号3x；
（3）存在．
因为y=﹣x2+2倍根号3x的顶点坐标为（根号3，3），即为点C，
MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（根号3t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E，
把x=t代入y=﹣x2+2倍根号3x，得y=﹣3t2+6t，
∴M（根号3t，﹣3t2+6t），E（根号3，﹣3t2+6t），
同理：Q（根号3，t），D（根号3，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得：t=4/3，t=1（舍），
∴P点坐标为（4/3倍根号3，4/3），使得四边形CDPM为等腰梯形，
