Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像过A(1,0),B(2,0),与y轴交于C

1）求二次函数解析式
2）设△ABC的外接圆的圆心为M,求点M的坐标
3）点D（x1，y1）在抛物线上，0＜x1＜2，过D做、作DD1⊥x轴，D1为垂足，如果△BDD1与△ACO相似，求点D的坐标
C是（0，-2）

Answer 1

解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-2）

∵抛物线过点C（0，-2）

∴-2=a·（-1）·（-2），a=-1

∴抛物线的解析式为y=-（x-1）（x-2）=-x²+3x-2

（2）连接AM，过点M做MH⊥x轴

∵点M为△ABC的外接圆的圆心

∴AM⊥BC     

设AM与BC交与点D

则∠ADB=∠COB=90°    CD=BD=BC/2=2√2/2=√2

∵∠ABD=∠CBO

∴△ABD∽△CBO

∴AB：BC=AD：OC，即1:2√2=AD：2

∴AD=√2/2

∵MH⊥x轴

∴∠MHA=∠BDA=90°

∵∠BAD=∠MAH

∴△BAD∽△MAH

∴AH：AD=MH：BD，即（1/2）：（√2/2）=MH：√2

∴MH=  1

∴点M的坐标为（3/2,1）

（3）第二步的D点你刻苦下哈，我不知道第三题有D点。。。

1.∵△BDD1与△ACO相似

∴BD1：AO=DD1：CO，即（2-x）：1=（-x²+3x-2）:2，解得x1=2，x2=3，都不符合题意

2.∵△BDD1与△ACO相似

∴BD1：CO=DD1：OA，即（2-x）：2=（-x²+3x-2）：1，解得x1=3/2，x2=2（舍去）

∴-x²+3x-2=-（3/2）²+3·3/2-2=1/4

∴ 点D的坐标为（3/2，1/4）

Answer 2

（1）将A、B、C三点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）易知A（2，3），B（0，3），由图知，当抛物线上的点在B、A之间时，纵坐标都大于3，由此可得当0＜x＜2时，y＞3；
（3）作△ABC任意两边的中垂线，两条垂直平分线的交点即为所求的M点；由于AB的垂直平分线是抛物线的对称轴方程，那么点M必在抛物线的对称轴上，可据此设出点M的坐标；然后根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出MB、MC的长，由于三角形的外心到三个顶点的距离相等，那么MB=MC，由此可列出关于M点纵坐标的方程，从而求出M点的坐标．解答：解：（1）∵y=ax2+bx+c的图象经过A（2，3）、B（0，3）、C（4，-5）三点，
∴{4a+2b+c=316a+4b+c=-5c=3，
解得{a=-1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）∵A（2，3），B（0，3），
∴当0＜x＜2时，y＞3；

（3）分别作AB于BC的中垂线，交点为M，点M即为圆心；
连接MB、MC，设M（1，yM），
∵MB2=1+（3-yM）2，MC2=（yM+5）2+9，
∴1+（3-yM）2=（yM+5）2+9，
∴yM=-32，
∴△ABC的外接圆的圆心的坐标为M（1，-32）．

Answer 3

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