Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于BC,AF垂直于CD，角EAF等于45度，AE加AF＝2根号2，则平行四边形ABCD周

则平行四边形ABCD周长是多少

Answer 1

方法一

∵AE⊥BC，AF⊥CD 

即AE⊥AD，AF⊥AB 

又∠ EAF=45 

∴RT△ABE和RT△AFD都是45度等腰△

∴AB=√2 AE

   AD=√2 AF

∴AB+AD=√2（AE+AF）=√2（2√2）=4

∴周长=2（AB+AD）=8 

方法二

作EM⊥AF

∵∠ EAF=45  ∴ME/2=（√ 2/2）AE 即 ME=√2 AE  ----------------1）  

作FN//BC 即FN⊥AE， 同样

∵∠ EAF=45  ∴FN/2=（√ 2/2）AF   即NF=√2 AF--------------------2）

1）+2）

ME+NF=√2（AE+AF）=√2（2√2）=4

∵ME//AB   并且ME=AB      FN//BC  并且FN=BC

∴ME+NF=半周长

∴周长=2（ME+NF）=8

Answer 2

解：因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 AB//DC，角B+角C=180度，
因为 AE垂直于BC，AF垂直于CD，角EAD=45度，
所以 角C=135度，
所以 角B=45度，
因为 AE垂直于BC，
所以 AB=根号2AE，
同理： AD=根号2AF，
因为 AE+AF=2根号2
所以 AB+AD=根号2（AE+AF）=4，
因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）
=8。

Answer 3

因为AE垂直BC于E
所以角AEB=角AEC=90度
因为AF垂直DC于F
所以角AFD=角AFC=90度
所以角AEC+角AFC=180度
所以A.E.C.F四点共圆
所以角EAF+角C=180度
因为角EAF=45度
所以角C=135度
因为ABCD是平行四边形
所以AB=CD AD=BC
AD平行BC
AB平行CD
所以角D+角C=180度
角B+角C=180度
所以角B=45度 角D=45度
因为角AEB=90度(已证）
因为角B+角BAE+角AEB=180度
所以角BAE=45度
所以角BAE=角B
所以BE=AE
AB^2=BE^2+AE^2
所以AB=根号2*AE
同理可证：DF=AF
AD=根号2*AF
所以AB+AD=根号2*(AE+AF)
因为AE+AF=2倍根号2
所以平行四边形的周长=2（AB+AD)=8