Question

limb/a=c 同阶无穷小 limb/a^k=c k>0 k阶无穷小 这里怎么区分这个k阶和同阶?lim(x趋于1)（1-x）/(1-x^3)

=1/3 这里分母是三次方，为什么不是三阶无穷小？

Answer 1

在a和b都趋于0的情况下，lim b/a^k=c
在k=1的时候，1阶无穷小就是同阶无穷小，
k>1的时候，b就是a的高阶无穷小
k<1的时候，a就是b的高阶无穷小

lim (1-x)/(1-x^3) =1/3，
(x趋于1)
注意在这里1-x=b，1-x^3=a，
limb/a=1/3，所以a和b是同阶无穷小

实际上，(1-x^3)=(1-x)(1+x+x²)，
在x趋于1的时候，1+x+x²趋于3，
即(1-x^3)趋于3(1-x)，所以和(1-x)是同阶的

计算的时候不要只看x的次方数，而要注意所用的a和b分别是什么

追问

可不可以说的再详细一点？怎么判断a、b？ lim(x-o)（1-cosx）/x^2=1/2 这里是二阶无穷小 如果这么说 可以把x^2整体看成a啊 谢谢~

追答

不要去想着找a和b，就看分子和分母是什么，然后极限值计算出来是多少
比如
lim(x-0) (1-cosx) /x^2=1/2，
你可以说1-cosx是x^2的同阶无穷小，
也可以说1-cosx是x的二阶无穷小