Question

(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2 求证x/a=y/b=z/c

Answer 1

设这就是苛西不等式的特例：
证明如下：
设：f(t)=(x^2+y^2+z^2)t^2+2(ax+by+cz)t+(a^2+b^2+c^2)
deta=4(ax+by+cz)^2-4(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)
由于(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2
所以deta=0
方程：f(t)=0 有且只有一个实根。
整理：f(t)=(x^2+y^2+z^2)t^2+2(ax+by+cz)t+(a^2+b^2+c^2)=0
f(t)=(xt+a)^2+(yt+b)^2+(zt+c)^2=0
由于三个非负数相加为零，所以肯定三个都为0,
当三个都等于0时，则f(t)=0
当：xt+a=0 yt+b=0 zt+c=0时
f(t)=0 t=-a/x=-b/y=-c/z
所以：x/a=y/b=z/c

追问

有没有初中知识做的？？？？？？？？

追答

这就是初三的知识回答的。
ax^2+bx+c=0
当deta=b^2-4ac=0时，有且只有一个解。

当然，也有麻烦的做法：
因为：(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2) =(ax)^2+(bx)^2+(cx)^2+(ay)^2+(by)^2+(cy)^2+(az)^2+(bz)^2+(cz)^2

而：(ax+by+cz)^2=(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2abxy+2acxz+2bcyz

则有：(bx)^2+(cx)^2+(ay)^2+(cy)^2+(az)^2+(bz)^2=2abxy+2acxz+2bcyz
(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0

固：ay=bx,az=cx,bz=cy

所以：x/a=y/b=z/c