Question

如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF.DF，求证BF垂直DF

Answer 1

证明：连BD，交AC于点O,连FO,
因为在矩形ABCD中，OA=OC,且AF=EF
所以FO是△AEC的中位线
所以FO=EC/2
因为AC=BD=EC
所以FO=BD/2=BO=OD
所以∠OFB=∠OBF,∠OFD=∠ODF
所以∠DFB=∠BFO+∠DFO=（∠BFO+∠DFO+∠BFO+∠FDO）/2=180/2=90
所以BF垂直DF

Answer 2

连接FC，取DC中点G，连接FG
可求FG为中位线，
所以FG平行于EC，即FG垂直于DC
所以FD=FC
因为CE=AC，点F是AE的中点
所以FC垂直AE
所以FE²+FC²=EC²
因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
所以FB=FE
因为FD=FC ,EC=AC=BD
所以FB²+FD²=BD²
所以直角三角形FBD
所以BF垂直DF