Question

高中数学 用导数来求最值或单调区间，需要讨论的典型例题和详细答案

最好的高考原题或高考模拟题

Answer 1

已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex（xR），其中aR．
当a≠2/3时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解：（1）当a＝0时，f(x)＝x2ex，f' (x)＝(x2＋2x) ex，故f' (1)＝e．
所以曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为e．
（2）f' (x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex，
令f' (x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2．由a≠23知，－2a≠a－2．
以下分两种情况讨论：
①若a＞23，则－2a＜a－2．当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：
x （－∞，－2a） －2a （－2a，a－2） a－2 （a－2，＋∞）
f' (x) ＋ 0 — 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f (－2a)＝3ae－2a；
在x＝a－2处取得极小值f (a－2)＝（4－3a）e a－2；
②若a＜23，则－2a＞a－2．当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：
x （－∞，a－2） a－2 （a－2，－2a） －2a （－2a，＋∞）
f' (x) ＋ 0 — 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)＝3ae－2a；
在x＝a－2处取得极大值f(a－2)＝（4－3a）e a－2．

Answer 2

2011年广州高考理科数学第20题。一个题研究好就足够了！